قانونا كيرشوف: حل الدوائر المعقدة بالآلة الحاسبة

١٩ أكتوبر ٢٠٢٦

قبل أي شرح،‏ هذه هي النقطة التي توفر عليك نصف وقت هذا الدرس: أسئلة كيرشوف تنتهي دائمًا بحل ثلاث معادلات خطية،‏ وحلها بالورقة (بالحذف والتعويض) يأخذ دقائق ويفتح بابًا واسعًا للخطأ في الإشارات. الآلة الحاسبة العلمية تحلها في أقل من نصف دقيقة. لذلك نبدأ بها،‏ ثم نرجع إلى القانونين نفسيهما. ومعها أمثلة حقيقية من صفحة الأسئلة جرّبها قبل أن تقرأ الحل.

الآلة الحاسبة تحل المعادلات الثلاث

الفكرة أن تكتب المعادلات الثلاث بالشكل الموحد: المجاهيل على اليسار والرقم الثابت على اليمين:

ثم تعطي الآلة الأرقام $a, b, c, d$ لكل معادلة بالترتيب،‏ فتعطيك $I_1$ و $I_2$ و $I_3$.

طريقة الإدخال

Casio fx-991ES PLUS (وما يشبهها):

1. اضغط MODE،‏ ثم 5 (EQN)،‏ ثم 2 وهي الخانة anX+bnY+cnZ=dn.
2. أدخل المعادلة الأولى بأرقامها الأربعة،‏ كل رقم يتبعه =: ‏$a_1$ = ‏$b_1$ = ‏$c_1$ = ‏$d_1$ =.
3. كرر نفس الشيء للمعادلتين الثانية والثالثة.
4. اضغط = فيظهر X،‏ وتضغط = (أو السهم لأسفل) لتظهر Y ثم Z.

Casio fx-991EX / fx-991CW: من MENU اختر قائمة المعادلات (Equation)،‏ ثم حل المعادلات الآنية (Simul Equation)،‏ ثم عدد المجاهيل 3. أدخل الأرقام في الجدول بنفس الترتيب ثم نفذ الحل. وتختلف أسماء القوائم قليلًا بين الإصدارات،‏ لكن الجدول واحد.

وفي كل الأنواع:

• X هو $I_1$ و Y هو $I_2$ و Z هو $I_3$.
• المجهول الغائب من المعادلة يُدخل صفرًا،‏ لا تتركه فارغًا.
• السالب يُدخل بزر (-) ولا يُدخل بزر الطرح.
• النتائج تظهر كسورًا غالبًا،‏ فاضغط S⇔D لتحويلها إلى عشرية.
• بعد الانتهاء ارجع إلى الوضع العادي بـ MODE ثم 1،‏ وإلا ستبقى الآلة على وضع المعادلات وتعطيك نتائج غريبة في الحسابات التالية.

مثال كامل

هذا السؤال من الدرس،‏ وسنحله بالطريقة التي ستستعملها في الامتحان:

القانونان

قانون كيرشوف الأول (التيارات): عند أي نقطة تفرع،‏ مجموع التيارات الداخلة يساوي مجموع التيارات الخارجة،‏ لأن الشحنة لا تتراكم ولا تختفي:

قانون كيرشوف الثاني (الجهود): في أي حلقة مغلقة،‏ المجموع الجبري للقوى الدافعة يساوي المجموع الجبري لهبوط الجهد على المقاومات. وطريقة الإشارات التي لا تخطئ فيها،‏ عند الدوران حول الحلقة:

وبعد جمع كل شيء حول الحلقة يكون المجموع صفرًا.

خطوات الحل: لأي دائرة

1. سمِّ كل تيار مجهول ولا تخف من الاتجاه،‏ افرضه كما تشاء.
2. اكتب قانون كيرشوف الأول عند العقد،‏ وعدد المعادلات المستقلة هو عدد العقد ناقص واحد.
3. اكتب قانون كيرشوف الثاني على الحلقات حتى يصير عدد المعادلات يساوي عدد المجاهيل.
4. حلّ المعادلات بالآلة الحاسبة.
5. التيار السالب معناه أن الاتجاه الفعلي عكس ما فرضته،‏ والقيمة تبقى صحيحة.

أي دائرة أوم يمكن حلها بكيرشوف

كل ما درسته في الدروس السابقة،‏ من توالٍ وتوازٍ ومقاومة داخلية،‏ هو حالات خاصة من هذين القانونين. التوالي هو القانون الأول (نفس التيار)،‏ والتوازي هو القانون الثاني (نفس فرق الجهد). فإذا وجدت دائرة لا تعرف كيف تبسطها،‏ فاكتب كيرشوف ولن تحتاج إلى معرفة نوع التوصيل أصلًا.

قانون كيرشوف الأول: العقد

عند أي عقدة مجموع الداخل يساوي مجموع الخارج. حدّد أي الأسهم يدخل العقدة وأيها يخرج قبل أن تكتب أي رقم. وإذا خرج التيار المجهول سالبًا فاتجاهه الفعلي عكس المرسوم،‏ وهذا جواب صحيح لا خطأ.

فرق الجهد بين نقطتين

عندما يُعطى جهد نقاط،‏ فاحسب كل تيار من $I = \frac{V}{R}$ ثم ضع قانون كيرشوف الأول عند العقدة المشتركة. والعكس: إذا أُعطيت التيارات فحدد النقطة التي تسير منها إلى الأخرى وانتبه لاتجاه التيار على كل مقاومة،‏ فالجهد ينخفض مع اتجاه التيار.

وحين تُذكر نقطة أرض،‏ فجهدها صفر،‏ وهو أسهل نقطة تبدأ منها:

قانون كيرشوف الثاني: الحلقات

ندور في الحلقة ونجمع القوى الدافعة والهبوط على المقاومات بالإشارات التي في الجدول. والفرعان بين نقطتين لهما نفس فرق الجهد،‏ فاحسبه من الفرع الذي تعرف كل بياناته ثم استعمله في الفرع المجهول:

وهذا السؤال يُحل بالقانونين معًا،‏ وهو من الأسئلة المتكررة:

ثلاثة مجاهيل: حلها بالآلة

حين تكون ثلاث تيارات مجهولة في دائرة بحلقتين،‏ هذا هو القالب: معادلة من العقدة ومعادلتان من الحلقتين. وإذا كانت البطاريات في ثلاثة فروع بين ناقلين مشتركين فمجموع التيارات الثلاثة يساوي صفرًا،‏ والمعادلتان الباقيتان من الحلقتين.

حين لا تحتاج الآلة

بعض الأسئلة تُحل بفكرة واحدة بلا معادلات:

• بطارية بلا مقاومة داخلية تثبّت فرق الجهد على أي فرع موصول بطرفيها.
• قراءة الأميتر صفر تعني أن لا تيار في هذا الفرع،‏ فقوته الدافعة المحصلة تساوي ما حوله.
• بطاريتان متماثلتان على التوازي بلا مقاومة داخلية لا تغيران الجهد ولا التيار.

وهذا فخ على نفس الفكرة،‏ حيث بطارية معكوسة تلغي ما حولها:

قبل الامتحان

• اكتب المعادلات بالشكل الموحد (المجاهيل يسارًا،‏ الثابت يمينًا) قبل إدخالها في الآلة.
• الصفر يُدخل صفرًا،‏ والسالب بزر (-)،‏ وارجع بعدها إلى MODE ثم 1.
• التيار السالب ليس خطأ،‏ بل اتجاهه عكس المرسوم.
• عدد المعادلات يساوي عدد المجاهيل: معادلة للعقد (عقد ناقص واحد) والباقي للحلقات.
• عند الدوران في الحلقة: المقاومة في اتجاه التيار $-IR$،‏ والبطارية من السالب للموجب $+V_B$.
• الأرض جهدها صفر،‏ وجهد النقطة يُقاس منها.
• الأسئلة التي تذكر قراءة جهاز فيها نفس القوانين،‏ فالأميتر مقاومته صفر والفولتميتر لا يمر به تيار.

للتدرّب على الدرس كاملًا،‏ افتح صفحة الأسئلة واختر درس قانونا كيرشوف من الفيزياء،‏ وابدأ بالوضع العادي.